Productos Notables

Productos Notables

Son productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado se puede obtener sin realizar la multiplicación.

I) Trinomio cuadrado perfecto

Está dado por:
a) El cuadrado de la suma de un binomio

(x + y)² = x² + 2xy + y²

b) El cuadrado de la diferencia de un binomio

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

El cuadrado de la suma de un binomio (x + y)2  o  el cuadrado de la diferencia de un binomio (x – y) dan trinomios cuadrados perfectos, que se diferencian por los signos. En el cuadrado de la suma todos los signos son positivos y en el cuadrado de la diferencia el segundo término es negativo y el resto positivo.

Se llama trinomio cuadrado perfecto, cuando en un trinomio ordenado el primer y tercer termino son potencia al cuadrado y el segundo es el doble del primero por el segundo. Ejemplo:  x2 ± 2xy + y2

II) Diferencia de Cuadrados

Está dado por el producto de la suma de un binomio por su diferencia.

(x + y)(x – y) = x2 – y2

La suma de un binomio por la diferencia del binomio es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. 

III) Cuadrado de un trinomio

a) Cuando los términos del trinomio son positivos

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz

Si se factoriza el resultado tenemos:

= x 2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)

b) Cuando el trinomio tiene un término positivo y dos negativos.

(x – y – z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy + 2yz – 2xz

Si se factoriza el resultado tenemos:

= x 2 + y2 + z2 – 2(xy – yz + xz)

IV) Cubo de un binomio

a) El cubo de la suma de un binomio

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Si se factoriza el resultado tenemos:
Equivalencia de Cauchy

= x 3 + y3 + 3xy(x + y)

b) El cubo de la diferencia de un binomio

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Si se factoriza el resultado tenemos:
Equivalencia de Cauchy

= x 3 – y3 – 3xy(x – y)

V) Cubo de un trinomio

(x + y + z)3 = a3 +b3 +c3 +3a2b +3a2c +3ab2 +3ac2 +3b2c +3bc2 +6abc 

VI) Suma y diferencia de cubos

a) Suma de cubos

(x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3

b) Diferencia de cubos

(x – y) (x2 + xy + y2) = x3 – y3

VII) Equivalencia o identidad de Gaüss

x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – xz)

VIII) Binomios con un término común (Equivalencias o identidades de Steven)

Muy parecido al trinomio cuadrado perfecto

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

(x + a)(x + b)(x + c) = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ac)x + abc

IX) Equivalencias o identidades de Legendre

(x + y)² + (x – y)² = 2(x² + y²)

(x + y)² – (x – y)² = 4xy

X) Equivalencias o identidades de Lagrange

(a² + b²)(x² + y²) = (ax + by)² + (ay – bx)²

(a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² + (ay – bx)² + (bz – cy)² + (az – cx)²

XI) Equivalencias o identidades de Argand

(x² + xy + y²)(x² – xy + y²) = x4 + x²y² + y4

(x² + x + 1)(x² – x + 1) = x4 + x² + 1

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2 respuestas a “Productos Notables

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